Relational Model & Relational Algebra — 관계형 모델과 관계 대수

데이터베이스는 결국 테이블의 집합이다. 그 테이블이 어떤 규칙으로 구성되고, 어떤 연산으로 원하는 데이터를 꺼내오는지가 관계형 모델의 핵심이다.

관계형 데이터베이스의 구조

관계형 데이터베이스(Relational Database)는 테이블(table)의 모음으로 구성된다. 각 테이블은 고유한 이름을 갖고, 이를 릴레이션(relation)이라 부른다.

• 튜플(tuple): 테이블의 한 행(row). 값들의 관계를 나타낸다
• 속성(attribute): 테이블의 한 열(column)

릴레이션의 형식적 정의

속성 A₁, A₂, …, Aₙ이 있고, 각 속성의 도메인(domain) D₁, D₂, …, Dₙ이 있을 때:

• 도메인: 해당 속성에 허용되는 값의 집합
• 모든 도메인은 원자적(atomic)이어야 한다 — 더 이상 나눌 수 없는 값
• null 값은 모든 도메인에 속하며, 연산 시 복잡한 문제를 유발한다

릴레이션 r은 D₁ × D₂ × … × Dₙ의 부분집합이다. 즉, 릴레이션은 n-튜플 (a₁, a₂, …, aₙ)의 집합이며, 각 aᵢ ∈ Dᵢ이다.

릴레이션은 집합이므로 튜플의 순서는 의미가 없다. 동일한 데이터를 다른 순서로 나열해도 같은 릴레이션이다.

스키마와 인스턴스

• 스키마(Schema): 데이터베이스의 논리적 설계. 변하지 않는 구조
• 인스턴스(Instance): 특정 시점의 데이터 스냅샷. 시간에 따라 변한다

스키마는 다음과 같이 표기한다:

r(A₁, A₂, …, Aₙ)

예: instructor(ID, name, dept_name, salary)

데이터베이스 설계

하나의 릴레이션에 모든 정보를 넣으면 문제가 발생한다.

univ(instructor_ID, name, dept_name, salary, student_ID, ...)

이런 설계의 문제점:

• 정보 반복: 같은 교수에 학생이 여러 명이면 교수 정보가 중복된다
• null 값 필요: 지도교수가 없는 학생은 교수 관련 필드가 null이 된다

이를 해결하는 것이 정규화(Normalization) 이론이다.

키 (Keys)

릴레이션 R에서 튜플을 유일하게 식별하기 위한 속성 집합이 키다.

슈퍼키 (Superkey)

K ⊆ R일 때, K의 값으로 릴레이션 r(R)의 각 튜플을 유일하게 식별할 수 있으면 K는 슈퍼키다.

예: instructor에서 {ID}와 {ID, name} 모두 슈퍼키다.

후보키 (Candidate Key)

슈퍼키 중 최소한의 것. 어떤 속성을 하나라도 제거하면 더 이상 슈퍼키가 아닌 것이다.

예: {ID}는 후보키다. {ID, name}은 name을 제거해도 여전히 슈퍼키이므로 후보키가 아니다.

기본키 (Primary Key)

후보키 중 하나를 선택한 것. 테이블에서 튜플을 식별하는 대표 키다.

외래키 (Foreign Key)

다른 테이블의 기본키를 참조하는 속성이다.

키의 관계를 정리하면:

슈퍼키 ⊇ 후보키 ⊇ 기본키 (1개 선택)

스키마 다이어그램

대학 데이터베이스의 전체 구조를 스키마 다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

화살표는 외래키 관계를 나타낸다. 참조하는 릴레이션(Referencing)에서 피참조 릴레이션(Referenced)으로 향한다.

관계형 질의 언어

데이터베이스에서 데이터를 질의하는 “순수” 이론 언어에는 세 가지가 있다.

SQL은 선언적 언어지만, 내부적으로는 관계 대수를 기반으로 동작한다. 관계 대수는 SQL의 이론적 토대다.

관계 대수 (Relational Algebra)

관계 대수는 6가지 기본 연산으로 구성된다. 각 연산은 릴레이션을 입력받아 새로운 릴레이션을 출력한다.

Select (σ) — 튜플 선택

조건을 만족하는 행만 골라낸다. SQL의 WHERE에 해당한다.

σ_salary>=85000 (instructor)

조건에는 =, ≠, >, <, ≥, ≤를 사용할 수 있고, and(∧), or(∨), not(¬)으로 결합할 수 있다.

Project (Π) — 속성 선택

원하는 열만 골라낸다. SQL의 SELECT 절에 해당한다.

Π_ID,salary (instructor)

릴레이션은 집합이므로 Project 결과에서 중복 튜플은 자동으로 제거된다.

Select + Project 복합 연산

salary가 85,000 이상인 교수의 ID와 salary만 추출하려면:

Π_ID,salary (σ_salary>=85000 (instructor))

실행 순서가 중요하다. Select를 먼저 적용하여 튜플을 걸러낸 후, Project로 속성을 선택한다. 순서를 바꾸면 결과 릴레이션의 스키마가 달라질 수 있다.

Cartesian Product (×) — 카테시안 곱

두 릴레이션의 모든 튜플 조합을 만든다.

r에 2개 튜플, s에 3개 튜플이 있으면, r × s는 2 × 3 = 6개 튜플이 된다. 결과 스키마는 두 릴레이션의 속성을 모두 포함한다.

단독으로는 의미 없는 조합이 대부분이다. 유의미한 결과를 얻으려면 Select와 함께 사용해야 한다.

Natural Join (⋈) — 자연 조인

두 릴레이션에서 공통 속성의 값이 같은 튜플만 결합하고, 공통 속성의 중복 열은 제거한다. 가장 자주 사용되는 조인 연산이다.

위 예시에서 instructor와 department는 dept_name이 공통 속성이다. dept_name 값이 같은 튜플끼리 결합되고, dept_name 열은 하나만 남는다.

Natural Join은 내부적으로 다음과 같다:

r ⋈ s = Π_R∪S (σ_r.B=s.B (r × s))

즉, Cartesian Product를 한 후 공통 속성이 같은 것만 Select하고, 중복 열을 Project로 제거한 것이다.

Natural Join의 성질:

• 결합 법칙(Associative): (r ⋈ s) ⋈ t = r ⋈ (s ⋈ t)
• 교환 법칙(Commutative): r ⋈ s = s ⋈ r

공통 속성이 2개 이상인 경우, 모든 공통 속성의 값이 일치해야 결합된다.

Theta Join (⋈θ) — 세타 조인

조건을 직접 지정하는 조인이다. Natural Join과 달리 공통 속성에 의존하지 않고, 임의의 조건을 사용할 수 있다.

r ⋈_θ s = σ_θ (r × s)

예: instructor와 teaches를 teaches.course_id = course.course_id 조건으로 조인하는 경우, 의도하지 않은 속성이 공통으로 묶이는 Natural Join의 문제를 피할 수 있다.

Union (∪) — 합집합

두 릴레이션의 모든 튜플을 합친다. 중복은 제거된다.

r ∪ s

제약 조건: 두 릴레이션의 스키마가 반드시 같아야 한다. 즉, 속성의 수와 도메인이 일치해야 한다.

Set Difference (–) — 차집합

r에는 있지만 s에는 없는 튜플만 남긴다.

r – s

Union과 마찬가지로 스키마가 같아야 한다.

Rename (ρ) — 이름 변경

릴레이션이나 속성에 별명(alias)을 부여한다. 같은 릴레이션을 두 번 참조해야 할 때 필수적이다.

ρ_x (E)         — 식 E의 결과를 x라는 이름으로
ρ_x(A₁,A₂,…,Aₙ) (E)  — 속성 이름까지 변경

예제: ID가 12121인 교수보다 급여가 높은 교수의 ID를 구하라.

같은 instructor 테이블을 두 번 참조해야 하므로 Rename이 필요하다:

Π_i.ID (σ_i.salary > j.salary (ρ_i(instructor) × σ_j.ID=12121 (ρ_j(instructor))))

instructor를 i와 j로 각각 이름을 바꾸고, j에서 ID=12121인 튜플을 뽑은 뒤, i의 salary가 j의 salary보다 큰 경우를 찾는 것이다.

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